Segue a matéria mais detalhada da Aula 01 de GEOMETRIA. Material retirado da Internet.

Medidas de Comprimento

Sistema Métrico Decimal

Desde a Antiguidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um deles possuía suas próprias unidades-padrão. Com o desenvolvimento do comércio ficavam cada vez mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas medidas diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza.

Foi assim que, em 1791, época da Revolução francesa, um grupo de representantes de vários países reuniu-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Surgia o sistema métrico decimal.

Metro

A palavra metro vem do gegro métron e significa "o que mede". Foi estabelecido inicialmente que a medida do metro seria a décima milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil o metro foi adotado oficialmente em 1928.

Múltiplos e Submúltiplos do Metro

Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro:

Múltiplos			Unidade Fundamental	Submúltiplos
quilômetro	hectômetro	decâmetro	metro	decímetro	centímetro	milímetro
km	hm	dam	m	dm	cm	mm
1.000m	100m	10m	1m	0,1m	0,01m	0,001m

Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para pequenas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos:

mícron (µ) = 10^-6 m

angströn (Å) = 10^-10 m

Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano):

Ano-luz = 9,5 · 10¹² km

O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades não pertencentes ao sistemas métrico decimal, são utilizadas em países de língua inglesa. Observe as igualdades abaixo:

Pé	=	30,48 cm
Polegada	=	2,54 cm
Jarda	=	91,44 cm
Milha terrestre	=	1.609 m
Milha marítima	=	1.852 m

Observe que:
1 pé = 12 polegadas
1 jarda = 3 pés

Leitura das Medidas de Comprimento
A leitura das medidas de comprimentos pode ser efetuada com o auxílio do quadro de unidades. Exemplos: Leia a seguinte medida: 15,048 m.
Seqüência prática
1º) Escrever o quadro de unidades:

km	hm	dam	m	dm	cm	mm

2º) Colocar o número no quadro de unidades, localizando o último algarismo da parte inteira sob a sua respectiva.

km	hm	dam	m	dm	cm	mm
		1	5,	0	4	8

3º) Ler a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu último algarismo e a parte decimal acompanhada da unidade de medida do último algarismo da mesma.

15 metros e 48 milímetros

Outros exemplos:

6,07 km	lê-se "seis quilômetros e sete decâmetros"
82,107 dam	lê-se "oitenta e dois decâmetros e cento e sete centímetros".
0,003 m	lê-se "três milímetros".

Transformação de Unidades

Observe as seguintes transformações:

Transforme 16,584hm em m.

dam

Para transformar hm em m (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 10).

16,584 x 100 = 1.658,4

Ou seja:

16,584hm = 1.658,4m

Transforme 1,463 dam em cm.

dam

Para transformar dam em cm (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000 (10 x 10 x 10).

1,463 x 1.000 = 1,463

Ou seja:

1,463dam = 1.463cm.

Transforme 176,9m em dam.

dam

Para transformar m em dam (uma posição à esquerda) devemos dividir por 10.

176,9 : 10 = 17,69

Ou seja:

176,9m = 17,69dam

Transforme 978m em km.

dam

Para transformar m em km (três posições à esquerda) devemos dividir por 1.000.

978 : 1.000 = 0,978

Ou seja:

978m = 0,978km.

Observação:

Para resolver uma expressão formada por termos com diferentes unidades, devemos inicialmente transformar todos eles numa mesma unidade, para a seguir efetuar as operações.

Medidas de superfície

Introdução

As medidas de superficie fazem parte de nosso dia a dia e respondem a nossas perguntas mais corriqueiras do cotidiano:

Qual a area desta sala?
Qual a area desse apartamento?
Quantos metros quadrados de azulejos são necessarios para revestir essa piscina?
Qual a area dessa quadra de futebol de salão?
Qual a area pintada dessa parede?

Superfície e área

Superficie é uma grandeza com duas dimensòes, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número.

Metro Quadrado

A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado.

O metro quadrado (m²) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado.

Múltiplos			Unidade Fundamental	Submúltiplos
quilômetros quadrado	hectômetro quadrado	decâmetro quadrado	metro quadrado	decímetro quadrado	centímetro quadrado	milímetro quadrado
km²	hm²	dam²	m²	dm²	cm²	mm²
1.000.000m²	10.000m²	100m²	1m²	0,01m²	0,0001m²	0,000001m²

O dam², o hm² e km² sào utilizados para medir grandes superfícies, enquanto o dm², o cm² e o mm² são utilizados para pequenas superfícies.

Exemplos:

1) Leia a seguinte medida: 12,56m²

km²	hm²	dam²	m²	dm²	cm²	mm²
			12,	56

Lê-se “12 metros quadrados e 56 decímetros quadrados”. Cada coluna dessa tabela corresponde a uma unidade de área.

2) Leia a seguinte medida: 178,3 m²

km²	hm²	dam²	m²	dm²	cm²	mm²
		1	78,	30

Lê-se “178 metros quadrados e 30 decímetros quadrados”

3) Leia a seguinte medida: 0,917 dam²

km²	hm²	dam²	m²	dm²	cm²	mm²
		0,	91	70

Lê-se 9.170 decímetros quadrados.

Medidas Agrárias

As medidas agrárias são utilizadas parea medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas, etc. A principal unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um submúltiplo, o centiare (ca).

Unidade agrária	hectare (ha)	are (a)	centiare (ca)
Equivalência de valor	100a	1a	0,01a

Lembre-se:

1 ha = 1hm²
1a = 1 dam²
1ca = 1m²

Transformação de unidades

No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de unidades de superfície, cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior:

Observe as seguintes transformações:

transformar 2,36 m² em mm².

km²

hm²

dam²

m²

dm²

cm²

mm²

Para transformar m² em mm² (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000.000 (100x100x100).

2,36 x 1.000.000 = 2.360.000 mm²

transformar 580,2 dam² em km².

km²

hm²

dam²

m²

dm²

cm²

mm²

Para transformar dam² em km² (duas posições à esquerda) devemos dividir por 10.000 (100x100).

580,2 : 10.000 = 0,05802 km²

Pratique! Tente resolver esses exercícios:

    1) Transforme 8,37 dm² em mm²     (R: 83.700 mm²)
    2) Transforme 3,1416 m² em cm²     (R: 31.416 cm²)
    3) Transforme 2,14 m² em dam²     (R: 0,0214 dam²)
    4) Calcule 40m x 25m     (R: 1.000 m²)

Medidas de volume

Introdução

Frequentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três dimensões: comprimento, largura e altura. De posse de tais medidas tridimensionais, poderemos calcular medidas de metros cúbicos e volume.

Metro cúbico

A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico (m³) é medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta.

Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico

Múltiplos			Unidade Fundamental	Submúltiplos
quilômetro cúbico	hectômetro cúbico	decâmetro cúbico	metro cúbico	decímetro cúbico	centímetro cúbico	milímetro cúbico
km³	hm³	dam³	m³	dm³	cm³	mm³
1.000.000.000m³	1.000.000 m³	1.000m³	1m³	0,001m³	0,000001m³	0,000000001 m³

Leitura das medidas de volume

A leitura das medidas de volume segue o mesmo procedimento do aplicado às medidas lineares. Devemos utilizar porem, tres algarismo em cada unidade no quadro. No caso de alguma casa ficar incompleta, completa-se com zero(s). Exemplos.

Leia a seguinte medida: 75,84m³

km³	hm³	dam³	m³	dm³	cm³	mm³
			75,	840

Lê-se "75 metros cúbicos e 840 decímetros cúbicos".

Leia a medida: 0,0064dm³

km³	hm³	dam³	m³	dm³	cm³	mm³
			0,	006	400

Lê-se "6400 centímetros cúbicos".

Transformação de unidades

Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de volume é 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

Observe a seguinte transformação:

transformar 2,45 m³ para dm³.

km³

hm³

dam³

m³

dm³

cm³

mm³

Para transformar m³ em dm³ (uma posição à direita) devemos multiplicar por 1.000.

2,45 x 1.000 = 2.450 dm³

Pratique! Tente resolver esses exercícios:

    1) Transforme 8,132 km³ em hm³     (R: 8.132 hm³)
    2) Transforme 180 hm³ em km³     (R: 0,18 km³)
    3) Transforme 1 dm³ em dam³     (R: 0,000001 dam³)
    4) Expresse em metros cúbicos o valor da expressão: 3.540dm³ + 340.000cm³    (R: 3,88 m³)

Polígono

Na geometria, um polígono é uma figura plana limitada por uma linha poligonal fechada: por exemplo, o hexágono é um polígono de seis lados.
A palavra "polígono" advém do grego e quer dizer muitos (poly) e ângulos (gon).
A definição usada por Euclides para polígono era uma figura limitada por linhas retas, sendo que estas linhas deveriam ser mais de quatro, e figura qualquer região do plano cercada por uma ou mais bordas.

Linhas poligonais e polígonos

Linha poligonal é uma sucessão de segmentos consecutivos e não-colineares, dois a dois. Classificam-se em:

Linha poligonal aberta simples

Linha poligonal aberta não-simples

Polígono é uma superfície plana limitada por segmentos de reta (arestas ou lados), cujos vértices são formados por duas arestas. Um polígono simples divide o plano em que se encontra em duas regiões (a interior e a exterior), isto é, bidimensional (eixo do "X" e do "Y"), sem pontos comuns. Um polígono estrelado é uma linha poligonal fechada não-simples com propriedades especiais.

Elementos de um polígono

Um polígono possui os seguintes elementos:

Lados

Cada um dos segmentos de reta que une vértices consecutivos:

$\overline{A B},$ $\overline{B C},$ $\overline{C D},$ $\overline{D E},$ $\overline{E A}.$

Vértices

Ponto de encontro dos segmentos:

$A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E.$

Diagonais

Segmentos que unem dois vértices não consecutivos:

$\overline{A C},$ $\overline{A D},$ $\overline{B D},$ $\overline{B E},$ $\overline{C E}.$

Ângulos internos

Ângulos formados por dois lados consecutivos:

$\hat a,$ $\hat b,$ $\hat c,$ $\hat d,$ $\hat e$

Ângulos externos

Ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo:

$\hat a_1,$ $\hat b_1,$ $\hat c_1,$ $\hat d_1,$ $\hat e_1.$

Classificação

Quanto ao número de lados

Os polígonos são classificados principalmente pelo número de lados, consulte a nomenclatura dos polígonos mais adiante.

Convexidade e tipos de não-convexidade

Pode-se caracterizar os polígonos de acordo com a sua convexidade ou o tipo de não-convexidade:

Estrelado: formado por corda e ângulos iguais. Pode ser:
- Falso: Pela sobreposição de Polígonos
- Verdadeiro: Formado por linhas poligonais fechadas não-simples
Entrecruzado: aquele em que o prolongamento dos lados ajuda a formar outro polígono.

Diferentes tipos de polígonos

Simetria

Regular: É o polígono que possui todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes.

Propriedades

Ângulos

O número de vértices é igual ao número de lados.
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de $n$ lados ( $S_i$ ) é dada por $(n-2). 180^\circ.$
A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono de $n$ lados ( $S_e$ ) é igual a $360^\circ.$
A medida do ângulo interno de um polígono regular de $n$ lados ( $a_i$ ) é dada por $\frac{(n-2). 180^\circ}{n}.$
A medida do ângulo externo de um polígono regular de $n$ lados ( $a_e$ ) é dada por $\frac{360^\circ}{n}.$
A soma das medidas dos ângulos centrais de um polígono regular de $n$ lados ( $S_c$ ) é igual a $360^\circ.$
A medida do ângulo central de um polígono regular de $n$ lados ( $a_c$ ) é dada por $\frac{360^\circ}{n}.$

Outras

De cada vértice de um polígono de $n$ lados, saem $n-3$ diagonais ( $d_v$ ).
O número de diagonais ( $d$ ) de um polígono é dado por $d = \frac{n(n-3)}{2},$ onde $n$ é o número de lados do polígono.
Em um polígono convexo de $n$ lados, o número de triângulos formados por diagonais que saem de cada vértice é dado por $n-2.$

Nomenclatura dos polígonos

Nomes dos polígonos
Lados	Nome	Lados	Nome	Lados	Nome
1	não existe	11	undecágono	...	...
2	não existe	12	dodecágono	...	...
3	triângulo	13	tridecágono	30	triacontágono
4	quadrilátero	14	tetradecágono	40	tetracontágono
5	pentágono	15	pentadecágono	50	pentacontágono
6	hexágono	16	hexadecágono	60	hexacontágono
7	heptágono	17	heptadecágono	70	heptacontágono
8	octógono	18	octodecágono	80	octacontágono
9	eneágono	19	eneadecágono	90	eneacontágono
10	decágono	20	icoságono	100	hectágono

Nomenclatura para polígonos com muitos lados

Para se construir o nome de um polígono com mais de 20 lados e menos de 100 lados, basta se combinar os prefixos e os sufixos a seguir:

Dezenas		e	Unidades		sufixo
Dezenas		-kai-	1	hena-	-gono
20	icosa-		2	-di-
30	triaconta-		3	-tri-
40	tetraconta-		4	-tetra-
50	pentaconta-		5	-penta-
60	hexaconta-		6	-hexa-
70	heptaconta-		7	-hepta-
80	octaconta-		8	-octa-
90	enneaconta-		9	-enea-

Assim, um polígono de 42 lados deve ser nomeado da seguinte maneira:

Dezenas	e	Unidades	sufixo	nome completo do polígono
tetraconta-	-kai-	-di-	-gono	tetracontakaidigono

e um polígono de 50 lados da seguinte forma:

Dezenas	e	Unidades	sufixo	nome completo do polígono
pentaconta-			-gono	pentacontagono

Alguns polígonos possuem nomes alternativos, como os seguintes:

Lados	Nome
22	docoságono
25	pentacoságono
1000	quilógono
1.000.000	megágono
10⁹	gigágono
10¹⁰⁰	googólgono

Mitologia

Segundo Eudoxo, citado por Plutarco, os pitagóricos associavam cada polígono a um (ou mais) deuses. O triângulo pertencia a Hades, Dionísio e Ares, o quadrilátero a Reia, Afrodite, Deméter, Héstia e Hera, o dodecágono a Zeus e o polígono de cinquenta e seis lados à criatura demoníaca Tifão.

exercícios resolvidos polígonos

Artigo com exercícios resolvidos sobre polígonos

01. Qual é o polígono em que a soma das medidas dos ângulos internos é o quádruplo da soma das medidas dos ângulos externos?

Resolução

Si = 4 · Se
(n – 2) · 180^º = 4 · 360^º (: 180^º)
n – 2 = 4 · 2
n – 2 = 8
n = 10

Resposta

O polígono é o decágono.

02. Os números que exprimem o número de lados de três polígonos são n – 3, n e n + 3. Determine o número de lados desses polígonos, sabendo que a soma de todos os seus ângulos internos vale 3 240°.

Resolução

Pelas condições do problema, temos:

S₁ = ( n – 3 – 2) · 180 = (n – 5) · 180
S₂ = (n – 2) · 180
S₃ = (n + 3 – 2) · 180 = (n + 1) · 180
S₁ + S₂ + S₃ = 3 240
(n – 5) · 180 + (n – 2) · 180 + (n + 1) · 180 = 3 240
[n – 5 + n – 2 + n + 1] · 180 = 3 240
3 n – 6 = 18
3 n = 24 n = 8

Então, teremos:

n – 3 = 8 – 3 = 5 lados
n = 8 lados
n + 3 = 8 + 3 = 11 lados

Resposta

5 lados, 8 lados e 11 lados

03. Qual é a soma das medidas dos ângulos internos do polígono que tem um número de diagonais igual ao quádruplo do número de lados?

Resolução

n = 11
Si = (n – 2) · 180^º
Si = (11 – 2) · 180^º
Si = 9 · 180^º
Si = 1 620^º

Resposta

A soma das medidas dos ângulos internos vale 1 620º

04. Ache o valor de x na figura:

A soma dos ângulos internos do pentágono é:

Na figura, essa soma é:

Resposta

O valor de x vale 80º

05. (Mackenzie - SP) Os ângulos externos de um polígono regular medem 20°. Então, o número de diagonais desse polígono é:

a) 90
b) 104
c) 119
d) 135
e) 152

Resolução
Se o polígono é regular, todos os lados são iguais e consequentemente todos os ângulos também serão iguais.
Se a soma dos ângulos externos de qualquer polígono é 360º, temos o número de lados dividindo 360º por 20º que é o valor de cada ângulo.
n = 360º
       20º
n = 18

Com o número de lados basta encontrar as diagonais com a fórmula:
d = n(n-3)
          2
d = 18(18-3)
              2
d = 18.15
          2
d=9.15
d = 135

Resposta letra D